在△ABC中，點M是BC的中點，△AMC的三邊長是連續(xù)三個正整數(shù)，且tan∠C=cot∠BAM．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求∠BAC的余弦值．
分析：（Ⅰ）假設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，根據(jù)正弦定理可找到α，β與B，C的正弦之間的關(guān)系，進而再由誘導(dǎo)公式可確定α與β的關(guān)系．
（Ⅱ）先設(shè)出3個連續(xù)的整數(shù)，再由勾股定理確定關(guān)系，根據(jù)余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）設(shè)∠BAM=α，∠MAC=β，
則由tanC=cotα得α+C=90°∴β+B=90°
△ABM中，由正弦定理得
=，即=．
同理得
=，
∵MB=MC，∴
=，
∴sinαsinC=sinβsinB∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinαcosα=sinβcosβ
即sin2α=sin2β，∴α=β或α+β=90°
當(dāng)α+β=90°時，
AM=BC=MC，
與△AMC的三邊長是連續(xù)三個正整數(shù)矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．
（Ⅱ）在直角三角形AMC中，設(shè)兩直角邊分別為n，n-1，斜邊為n+1，
由（n+1）
2=n
2+（n-1）
2得n=4，
由余弦定理或二倍角公式得
cos∠BAC=．
或
cos∠BAC=-．
點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．三角函數(shù)部分公式比較多，一定要強化記憶．
所成的比為 ．
如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，則點P分有向線段
如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP：PM的值．