Question

已知圓x²+y²=25，△ABC內接于此圓，A點的坐標（3，4），O為坐標原點．
（1）若△ABC的重心是G(

5

3

，2)，求直線BC的方程；（三角形重心是三角形三條中線的交點，并且重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍）
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）要求三角形頂點的坐標，可先將它們的坐標設出來，根據重心的性質，我們不難求出BC邊上中點D的坐標，及BC所在直線的斜率，代入直線的點斜式方程即可求出答案．
（2）若直線AB與直線AC的傾斜角互補，則他們的斜率互為相反數，又由他們都經過A點，則可以設出他們的點斜式方程，代入圓方程后，求出BC兩點的坐標，代入斜率公式，即可求證出正確的結論．

解答：解：設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意可得：

x1+x2+3 3 = 5 3 y1+y2+4 3 =2

即

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =1

，
又

x 2 1 + y 2 1 =25 x 2 2 + y 2 2 =25

，
相減得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1
∴直線BC的方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0
（2）設AB：y=k（x-3）+4，代入圓的方程整理得：
（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0
∵3，x₁是上述方程的兩根，
∴x1=

3k2-8k-3

1+k2

，y1=

-4k2-6k+4

1+k2

同理可得：x2=

3k2+8k-3

1+k2

，y2=

-4k2+6k+4

1+k2

∴kBC=

y1-y2

x1-x2

=

3

4

點評：三角形重心的坐標是三角形三個頂點坐標的平均數，由重心坐標及任意兩頂點的坐標，構造方程易求第三個頂點的坐標；已知三個頂點的坐標，代入重心坐標公式，即得重心坐標；如果已知重心坐標和其中一個頂點的坐標，則我們只能求出該頂點對邊上中點的坐標．