Question

（2010•孝感模擬）已知 橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為e，點F₁關(guān)于直線l：y=ex+a的對稱點記為P，若△PF₁F₂為等腰三角形，則e=（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  3

• C．

  6

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)PF₁⊥l，可得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，進而要使得△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c成立，設(shè)點F₁到l的距離為d，根據(jù)

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c可得到

1-e2

1+e2

=e，進而可得到e的值

解答：解：因為點F₁關(guān)于直線l：y=ex+a的對稱點記為P
所以PF₁⊥l，
所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，
要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，
即

1

2

|PF₁|=c．
設(shè)點F₁到l的距離為d，由

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c．
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，
所以e=

3

3

故選B．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)PF₁⊥l，得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，進而要使得△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|．