Question

設{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁＜a₂），又

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1．試求{a_n}的首項與公差．

Answer 1

分析：設出數列的公差，利用{b_n}為等比數列，可確定數列的公比，利用

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1存在，即可求得結論．

解答：解：設所求公差為d，∵a₁＜a₂，∴d＞0．
由此得a₁²（a₁+2d）²=（a₁+d）⁴，化簡得2a₁²+4a₁d+d²=0
解得d=（-2±

2

） a₁．…（5分）
而-2±

2

＜0，故a₁＜0．
若d=（-2-

2

）a₁，則q=

a 2 2

a 2 1

=(

2

+1)2；
若d=（-2+

2

）a₁，則q=

a 2 2

a 2 1

=(

2

-1)2；…（10分）
但

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1存在，故|q|＜1．于是q=(

2

+1)2不可能．
從而

a 2 1

1-( 2 -1)2

=

2

+1⇒

a

2 1

=(2

2

-2)(

2

+1)=2．
所以a₁=-

2

，d=（-2+

2

） a₁=（-2+

2

）（-

2

）=2

2

-2．…（20分）

點評：本題考查數列的極限，考查等差數列與等比數列的綜合，考查學生的計算能力，屬于中檔題．