Question

已知奇函數f（x）=lg

a-x

1+x

，
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）在定義域上的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質f（x）+f（-x）=0可求得a的值．
（2）先求得函數的定義域，再利用函數單調性的定義判斷并證明函數f（x）在定義域上的單調性．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數∴f（x）+f（-x）=0，即lg

a-x

1+x

+lg

a+x

1-x

=0 解得a=1
故a的值為1
（2）由（1）知f（x）=lg

1-x

1+x

，定義域為（-1，1），
函數f（x）在定義域上單調遞減，證明如下：
任取，x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=lg

1-x1

1+x1

-lg

1-x2

1+x2

=lg

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

∵x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
∴（1-x₁+x₂-x₁x₂）-（1+x₁-x₂-x₁x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
所以1-x₁+x₂-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂，
因為1+x₁-x₂-x₁x₂=（1+x₁）（1-x₂）＞0，
所以

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1，從而lg

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在定義域（-1，1）上單調遞減．

點評：本題考查了函數的單調性，本題需要用定義證明，化簡時需要注意應先比較真數與1的大小，才能得到f（x₁）與f（x₂）的大小，計算量大，屬中檔題．