Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為實(shí)常數(shù)，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的公比滿足q=f（m）且，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若m=1時(shí)，設(shè)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整數(shù)k，使得對任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，由此能夠證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由，知n≥2時(shí)，，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由此能求出．
（3）由，知，由此能求出k的最大值．
解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，
得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠-3），
∴，
∵m是常數(shù)，且m≠-3，m≠0，
故為不為0的常數(shù)，
∴{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由，
且n≥2時(shí)，，
得，
∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，
故．
（3）由已知，
∴
相減得：，
∴，
，
T_n遞增，
∴，
∵對n∈N^*均成立，
∴，
又k∈N^*，∴k最大值為7．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地運(yùn)用錯位相減法進(jìn)行證明．注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．