Question

已知函數f(x)=

ex-1，x＞0 1 3 x3+mx2，x≤0

（m∈R，e是自然常數）．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）當x＞0時，設f（x）的反函數為f^-1（x），若0＜p＜q，試比較f（q-p），f^-1（q-p）及f^-1（q）-f^-1（p）的大小．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的導數，由于導數中存在參數m，其取值范圍的不同會造成函數的單調區間不同，極值的存在與否不同，故需要對參數m分類討論，在每一類中求函數的極值；
（2）觀察題設，要比較大小的幾個數值的函數名不同，不易借助同一個函數的單調性來進行判斷，本題采取了構造一個新函數的方法，借用新函數的單調性來比較兩數的大小，對于函數名相同的兩個數值大小的比較，直接作差即可．

解答：解：（1）∵當x＞0時，f（x）=e^x-1在上單調遞增，且f（x）=e^x-1＞0
當x≤0時，f（x）=

1

3

x³+mx²，此時f′（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①當m=0時，f′（x）=x²≥0，則f（x）=

1

3

x³在（-∞，0】上單調遞增且f（x）=

1

3

x³≤0，又f（0）=0，可知函數f（x）在R上單調遞增，故無極值．
②當m＜0時同理，函數f（x）在R上單調遞增，故無極值
③當m＞0時，令f′（x）=x（x+2m）＞0，得x＞0或x＜-2m．此時函數f（x）=

1

3

x³+mx²在（-∞，-2m]上單調遞增，在（-2m，0]上單調遞減．
∴函數在f（x）x=-2m處取得極大值f（-2m）=-

8

3

m³+4m³=

4

3

m³＞0；
又∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，故函數f（x）在x=0處取得極小值f（0）=0．
綜上可知：當m＞0時，f（x）的極大值為

4

3

m³，極小值為0；當m≤時，f（x）無極值
（2）當x＞0時，設y=f（x）=e^x-1則x=ln（y+1）
∴f^-1（x）=ln（x+1）（x＞0）
①比較f（q-p）與f^-1（q-p）的大小．
記g（x）=f（x）-f^-1（x）=e^x-ln（x+1）-1（x＞0）
∵當x＞0時，有g′（x）＞g′（0）=0恒成立．
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又因為g（x）在x=0處連續
∴當x＞0時，有g（x）＞g（0）=e⁰-ln（0+1）-1=0
當0＜p＜q時，有p-p＞0，
∴g（q-p）=f（q-p）-f^-1（q-p）＞0，即f（q-p）＞f^-1（q-p）
②比較f^-1（q-p）與f^-1（q）-f^-1（p）的大小
∵f^-1（q-p）-[f^-1（q）-f^-1（p）]=ln（q-p+1）-ln（q+1）+ln（p+1）
∵0＜p＜q，∴

p(q-p)

q+1

+1＞1，
∴ln[

p(q-p)

q+1

+1]＞0
∴g（q-p）＞f（q）-f^-1（p）
由①②可知，當0＜p＜q時，有f（q-p）＞f^-1（q-p）＞f^-1（q）-f^-1（p）

點評：本題考點是利用導數研究函數的極值，考查了函數極值存在的條件，利用導數研究函數的單調性，以及利用單調性比較大小，本題也涉及了對數與指數的運算，故本題辭讓強，綜合性強，解答時注意體會本題問題的轉化技巧與方法．