Question

10．已知以A（-1，2）點為圓心的圓與直線${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l₁相交于點P．
（1）求圓A的方程；
（2）當$|{MN}|=2\sqrt{19}$時，求直線l的方程；
（3）求證：$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

Answer 1

分析 （1）設出圓A的半徑，根據以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切．點到直線的距離等于半徑，我們可以求出圓的半徑，進而得到圓的方程；
（2）根據半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，我們可以結合直線l過點B（-2，0），求出直線的斜率，進而得到直線l的方程；
（3）由直線l過點B（-2，0），我們可分直線的斜率存在和不存在兩種情況，運用向量的坐標和數量積的坐標表示，綜合討論結果，即可得到結論．

解答 解：（1）設圓A的半徑為R，由于圓A與直線l₁：x+2y+7=0相切，
∴R=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴圓A的方程為（x+1）²+（y-2）²=20；
（2）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-2符合題意；
②當直線l與x軸不垂直時，
設直線l的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
連接AQ，則AQ⊥MN
∵$|{MN}|=2\sqrt{19}$，∴|AQ|=$\sqrt{20-19}$=1，
則由|AQ|=$\frac{|k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，得k=$\frac{3}{4}$，∴直線l：3x-4y+6=0．
故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0；
（3）證明：∵AQ⊥BP，∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$，
①當l與x軸垂直時，易得P（-2，-$\frac{5}{2}$），則$\overrightarrow{BP}$=（0，-$\frac{5}{2}$），又$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=0×1-$\frac{5}{2}$×2=-5；
②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+2），
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{x+2y+7=0}\end{array}\right.$，得P（$\frac{-4k-7}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
則$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{-5}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=$\frac{-5}{1+2k}$+$\frac{-10k}{1+2k}$=-5．
綜上所述，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

點評 本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，直線的一般式方程，圓的標準方程，其中（1）的關鍵是求出圓的半徑，（2）的關鍵是根據半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，求出弦心距（即圓心到直線的距離），（3）中要注意討論斜率不存在的情況，這也是解答直線過定點類問題的易忽略點．