Question

【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；

（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時(shí)，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：設(shè)，則，

四面體的體積 .

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.