Question

【題目】已知函數.

（1）若存在極值，求實數a的取值范圍；

（2）設，設是定義在上的函數.

（ⅰ）證明：在上為單調遞增函數(是的導函數)；

（ⅱ）討論的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）.（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）答案見解析

【解析】

（1）求導得，按照、分類，求得、的解集即可得解；

（2）（ⅰ）令，對求導，按照、分類，證明恒大于0，即可得證；

（ⅱ）由的單調性結合，按照、分類，結合即可得解.

（1）求導得，

當時，，在R上單調遞減，無極值；

當時，在單調遞減，在上單調遞增，

則在處有極小值.

綜上，實數a的取值范圍為；

（2）（ⅰ）證明：由題意，

∵令，

∴，

∵，

當時，，，，

則；

當時，令，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以，

從而有：，而，

則，則；

綜上，對都有成立，

故在區間單調遞增；

（ⅱ）由（ⅰ）知，在區間單調遞增且，

①當時，，

當時，則在單調遞減；

當時，則在單調遞增，

則是的唯一極小值點，且，

從而可知：當時，在區間有唯一零點0；

②當時，有，

且，

故存在使，

此時在單調遞減，在單調遞增，

且

，

又，由零點存在定理知：

則在區間有唯一零點，記作，

從而可知：當時，在區間上有兩個零點：0和；

綜上：①當時，在區間有唯一零點0；

②當時，在區間有兩個不同零點.