Question

【題目】在直三校柱中，是等直角三角形，，，M是AB的中點(diǎn)，且．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）已知點(diǎn)N在棱上，若平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值為，試確定點(diǎn)N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）N在棱的中點(diǎn)處．

【解析】

（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用直線垂直向量的數(shù)量積為0，可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案；

（2）由（1）知，設(shè)，所以，，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，再代入向量的夾角公式，即可得答案；

（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)．

由得，

則，，，，

所以，．

因?yàn)?/span>，所以，

解得，即的長(zhǎng)為．

（2）由（1）知

設(shè)，所以，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

由，得，取．

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，

．

解得或（舍去）

所以N在棱的中點(diǎn)處．