Question

已知函數f(x)=

3

2

x2+2ax-a2lnx，二次函數g（x）=ax²-2x+1．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若-（a₁²+a₂²）=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²=a₁a₂（a₁-a₂）²與g（x）在區間（a，a+2）內均為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件知函數f（x）的定義域是（0，+∞），a≠0．由f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．能討論討論函數f（x）的單調性．
（Ⅱ）由f（x）的定義域為（0，+∞），知a＞0．故a＞

a

3

．由此能夠推導出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由條件知函數f（x）的定義域是（0，+∞），a≠0．（2分）
∵f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．
∴當a＞0時，f（x）在(

a

3

，+∞)上單調遞增，
在(0，

a

3

)上單調遞減．
當a＜0時，f（x）在（-a，+∞）上單調遞增，
在（0，-a）上單調遞減．（6分）
（Ⅱ）∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴a＞0．（8分）
故a＞

a

3

，
∴由（Ⅰ）知f（x）在（a，a+2）上單調遞增．（10分）
∴g（x）=ax²-2x+1在（a，a+2）上也單調遞增，
∴

1

a

≤a．
∴a≥1．（12分）

點評：本題考查二次函數的性質，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意導數的運用．