Question

【題目】已知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，.

（1）求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個(gè)實(shí)根；

（3）若，存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），此時(shí)；（2）的取值范圍為；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式易得，此時(shí).（2）至少有一個(gè)實(shí)根，即與的圖象在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，由題意，可得，，則需即可；（3）由題意，可得，則，

由已知存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使恒成立.即.令∴，轉(zhuǎn)化為存在，使成立.令，的對(duì)稱(chēng)軸為，分類(lèi)討論，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立，即，此時(shí).

（2）的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴，

至少有一個(gè)實(shí)根，∴至少有一個(gè)實(shí)根，

即與的圖象在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為.

（3），∴，

由已知存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使恒成立.

∴.

令，∴，即，

轉(zhuǎn)化為存在，使成立.

令，∴的對(duì)稱(chēng)軸為，

∵，∴.

①當(dāng)，即時(shí)，

，

∴，∴.

②當(dāng)，即時(shí)，

，

∴，∴，∴.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.