Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對角線把△折起，使點到達平面外點的位置。

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）如果△為等腰三角形，求二面角的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為，，

所以，。

因為折疊過程中，，

所以，又，故平面。

又平面，所以平面平面。

（Ⅱ）解法一：如圖，延長到，使，連結，。

因為，，，，所以為正方形，。

由于，都與平面垂直，所以，可知。

因此只有時，△為等腰三角形。

在△中，，又，

所以△為等邊三角形，。

由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大小為。

解法二：以為坐標原點，射線，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，。

由（Ⅰ）可設點的坐標為，其中，則有。      ①

因為△為等腰三角形，所以或。

若，則有。

則此得，，不合題意。

若，則有。          ②

聯立①和②得，。故點的坐標為。

由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。

又，，

所以  即二面角的大小為。