Question

函數y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，函數f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）當x∈M時，關于x方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有兩不等實數根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由.3-4x+x²＞0，求得x的范圍可得 M={x＞3或x＜1}；令2^x=t＞0，則f（x）=g（t）=（t-1）²-1≥-1，可得函數f（x）的值域．
（2）由題意可得函數y=t²-2t 的圖象和直線y=b有2個交點，數形結合可得b的范圍．

解答：解：（1）∵由.3-4x+x²＞0，解得x＞3，或x＜1，∴M={x＞3或x＜1}；
∵f（x）=4^x-2^x+1，令2^x=t＞0，則f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
所以值域為[-1，+∞）．
（2）．∵4^x-2^x+1=b（b∈R）有兩不等實數根，∴函數y=t²-2t 的圖象和直線y=b有2個交點，
數形結合可得，-1＜b＜0，即b的范圍（-1，0）．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，二次函數的性質，體現了轉化以及數形結合的數思想，屬于中檔題．