Question

雙曲線

y2

b2

-

x2

a2

=1(a，b＞0)的一條漸近線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于點M、N，則|MN|=（　　）

• A、

  2(a2-b2)

• B、

  2(a2+b2)

• C、

  2

  a
• D、a+b

Answer 1

分析：求出雙曲線的漸近線方程，將漸近線方程與橢圓的方程聯立，求出兩個交點的坐標；利用兩點的距離公式求出|MN|．

解答：解：雙曲線的漸近線的方程為y=±

b

a

x，不妨取y=

b

a

x
由

x2 a2 + y2 b2 =1(a＞b＞0) y= b a x

消去y得
2x²=a²
解得x=±

2

2

a代入漸近線方程得M，N兩點的坐標分別為：
(

2

2

a，

2

2

b)；(-

2

2

a，-

2

2

b)
所以|MN|=

( 2 a)2+( 2 b)2

=

2(a2+b2)

．
故選B

點評：本題考查雙曲線的漸近線方程與雙曲線的焦點位置有關、考查解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，常將直線方程與圓錐曲線方程聯立．