Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）過點（$\sqrt{2}$，1），且焦距為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=k（x+1）（k＞-2）與橢圓C相交于不同的兩點A、B，線段AB的中點M到直線2x+y+t=0的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求t（t＞2）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{2}$，則a²-b²=2，將點代入橢圓方程，聯立即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得M點坐標，利用點到直線的距離公式，根據k及t的取值范圍，利用基本不等式的性質，即可求得t的取值范圍．

解答 解：（1）由2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，則a²-b²=2，
將點（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，
則x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
y₀=k（x₀+1）=$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
由M到直線2x+y+t=0的距離$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{丨-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+\frac{k}{2{k}^{2}+1}+t丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
則丨$\frac{k+2}{2{k}^{2}+1}$+t-2丨=3，
由k＞-2及t＞2，則t=5-$\frac{k+2}{2{k}^{2}+1}$=5-$\frac{1}{2（k+2）+\frac{9}{k+2}-8}$，
由$\frac{1}{2（k+2）+\frac{9}{k+2}-8}$≥6$\sqrt{2}$，
∴5-$\frac{1}{6\sqrt{2}-8}$≤t＜5，即4-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$≤t＜5，
∴t（t＞2）的取值范圍[4-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，5）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．