Question

已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過點P（0，p）的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l₁和l₂，記l₁和l₂相交于點M．
（Ⅰ）證明：直線l₁和l₂的斜率之積為定值；
（Ⅱ）求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+p，將其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0．設A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-2p²，將拋物線的方程改寫為y=

1

2p

x2，求導得y′=

1

p

x．由此能夠證明直線l₁和l₂的斜率之積為定值；
（Ⅱ）設M（x，y）．因為直線l₁的方程為y-y₁=k₁（x-x₁），即y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，同理，直線l₂的方程為y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，
聯立這兩個方程，消去y得

x 2 1

2p

-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)-

x1

p

(x-x1)，由此能夠求出點M的軌跡方程．

解答：解：
（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+p，
將其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0（2分）
設A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-2p²（3分）
將拋物線的方程改寫為y=

1

2p

x2，求導得y′=

1

p

x．
所以過點A的切線l₁的斜率是k1=

x1

p

，過點B的切線l₂的斜率是k2=

x2

p

，
故k1k2=

x1x2

p2

=-2，所以直線l₁和l₂的斜率之積為定值-2（6分）

（Ⅱ）解：設M（x，y）．因為直線l₁的方程為y-y₁=k₁（x-x₁），即y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，
同理，直線l₂的方程為y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，
聯立這兩個方程，消去y得

x 2 1

2p

-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)-

x1

p

(x-x1)，
整理得(x1-x2)(x-

x1+x2

2

)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=

x1+x2

2

（10分）
此時y=

x 2 1

2p

+

x1

p

(x-x1)=

x 2 1

2p

+

x1

p

(

x1+x2

2

-x1)=

x1x2

2p

=-p（12分）
由（Ⅰ）知，x₁+x₂=2pk，所以x=

x1+x2

2

=pk∈R，
所以點M的軌跡方程是：y=-p．（14分）

點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要注意韋達定理的合理運用和公式的靈活運用．