Question

已知向量

m

=(

3

，1)，向量

n

是與向量

m

夾角為

π

3

的單位向量．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=(-

3

，1)平行，與向量

p

=(

3

x2，x-y2)垂直，求t=y²+5x+4的最大值．

Answer 1

分析：（1）設

n

=（x，y），向量

n

是單位向量，向量

n

與向量

m

夾角為

π

3

，解方程組

x2+y2=1 3 x+y=0

，能求出

n

=（0，1），或

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
（2）由

n

=（0，1）和向量

q

=(-

3

，1)不平行，知向量

n

=(

3

2

，-

1

2

)，由向量

n

與向量

q

=(-

3

，1)平行，與向量

p

=(

3

x2，x-y2)垂直，得到3x²-x+y²=0．所以t=y²+5x+4=-3x²+6x+4，再由導數求t的最大值．

解答：解：（1）設

n

=（x，y），
∵向量

n

是單位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量

n

與向量

m

夾角為

π

3

，
∴cos

π

3

=

3 x+y

2

，
∴

3

x+y=1，
解方程組

x2+y2=1 3 x+y=0

，
得x=0，y=1，或x=

3

2

，y=-

1

2

．
∴

n

=（0，1），或

n

=(

3

2

，-

1

2

)．
（2）∵

n

=（0，1）和向量

q

=(-

3

，1)不平行，
∴向量

n

=(

3

2

，-

1

2

)，
向量

n

與向量

q

=(-

3

，1)平行，與向量

p

=(

3

x2，x-y2)垂直，
∴

3

2

•

3

x2+(-

1

2

) •(x-y2)=0，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因為-3x²+x＞0
所以0＜x＜

1

3

，
所以當x=

1

3

時，t=-3x²+6x+4取最大值t_max=

17

3

．

點評：本題考查數量積的性質和應用，解題時要認真審題，注意導數的靈活運用．