Question

已知向量

m

=(x2，1)，

n

=(a，1-2ax)，其中a＞0．函數g（x）=

m

•

n

在區間x∈[2，3]上有最大值為4，設f（x）=

g(x)

x

．
（1）求實數a的值；
（2）若不等式f（3^x）-k3^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量的數量積求出函數g（x）的解析式，由函數的單調性求出函數的最大值，由最大值等于4求得a的值；
（2）求出函數f(x)=

g(x)

x

的解析式，代入f（3^x）-k3^x≥0后分離參數k，然后利用配方法求得函數的最值后得答案．

解答：解：（1）由題得g（x）=

m

•

n

=ax²+1-2ax=a（x-1）²+1-a，
當a＞0時函數開口向上，對稱軸為x=1，在區間x∈[2，3]單調遞增，最大值為4，
∴g（x）_max=g（3）=a（3-1）²+1-a=4，
∴a=1；                                  
（2）由（1）可知，g（x）=x²-2x+1，
∴f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，
令t=3^x，則t∈[

1

3

，3]，
∴f（3^x）-k3^x≥0可化為f（t）≥kt，
即k≤

f(t)

t

恒成立，

f(t)

t

=(

1

t

-1)2，且

1

t

∈[

1

3

，3]，
當

1

t

=1，即t=1時

f(t)

t

取最小值為0，
∴k≤0．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了函數構造法、換元法及分離變量法，訓練了利用配方法求函數的最值，屬中高檔題．