Question

（2006•重慶二模）設函數f（x）的定義域為R．若存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為有界泛函．在函數：
①f（x）=-3x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=2^x，
⑤f（x）=xcosx
中，屬于有界泛函的有

①③⑤

．（填上所有正確的番號）

Answer 1

分析：利用“f（x）為有界泛函”的定義找到符合條件的M即可．

解答：解：①∵|f（x）|=3|x|，要使3|x|≤M|x|對于任意實數x都成立，只要M≥3即可，因此f（x）為有界泛函．
②∵|f（x）|=x²，要使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，即x²≤M|x|，當x≠0時，即|x|≤M，因此不存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，因此f（x）不為有界泛函；
③∵|f（x）|=sin²x≤|sinx|≤|x|，要使|x|≤M|x|對一切實數x均成立，只要M≥1即可，因此f（x）為有界泛函．
④∵|f（x）|=2^x，當x=0時，|f（0）|=1＞M•0=0，因此不存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，因此f（x）不為有界泛函；
⑤∵|f（x）|=|xcosx|≤|x|，∴要使|x|≤M|x|對于任意實數x都成立，只要M≥1即可，因此f（x）為有界泛函．

點評：正確理解“f（x）為有界泛函”的定義、不等式的性質是解題的關鍵．