Question

（2006•重慶二模）在△ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，是三邊a，b，c成等比數列的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：先由條件lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列推出sinA，sinB，sinC的關系，然后利用正弦定理判斷和a，b，c的關系．從而確定是充分條件還是必要條件．

解答：解：在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，則lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即lgsinAsinC=lgsin²B，所以sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得ac=b²，所以三邊a，b，c成等比數列．
若三邊a，b，c成等比數列，則ac=b²，由正弦定理得sinAsinC=sin²B，所以lgsinA+lgsinC=lgsinAsinC=lgsin²B=2lgsinB，
所以lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列．
所以在△ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，是三邊a，b，c成等比數列的充要條件．
故選C．

點評：本題的考點是充分條件和必要條件的判斷．要求熟練找我判斷充要條件的方法：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．