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精英家教網已知函數f(x)的定義域為[-2,4],且f(4)=f(-2)=1,f′(x)為f(x)的導函數,函數y=f′(x)的圖象如圖所示,則平面區域f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)所圍成的面積是(  )
A、2B、4C、5D、8
分析:根據導函數的圖象,分析原函數的性質或作出原函數的草圖,找出a、b滿足的條件,畫出平面區域,即可求解.
解答:精英家教網解:由圖可知[-2,0)上f′(x)<0,
∴函數f(x)在[-2,0)上單調遞減,(0,4]上f′(x)>0,
∴函數f(x)在(0,4]上單調遞增,
故在[-2,4]上,f(x)的最大值為f(4)=f(-2)=1,
∴f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)?
-2<2a+b<4
a≥0
b≥0

表示的平面區域如圖所示:
故選B.
點評:本題考查了導數與函數單調性的關系,以及線性規劃問題的綜合應用,屬于高檔題.解決時要注意數形結合思想應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列說法正確的有(  )個.
①已知函數f(x)在(a,b)內可導,若f(x)在(a,b)內單調遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數f(x)在點P處的導數存在;反之若函數f(x)在點P處的導數存在,則函數f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關.
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數f(x)的單調區間;
(ii)證明:若對于任意非零實數x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習冊答案
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