Question

△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（2sin²（

π

4

+

B

2

），-1）且

m

⊥

.

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若a=

3

，b=1，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根據

m

⊥

n

得關于角B的三角函數的方程，解方程即可求出角B；
（2）求出角B后，根據余弦定理可得一個關于c的一元二次方程，解這個方程求解c值．

解答：解：（1）由于

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，所以2sinB•2sin2(

π

4

+

B

2

)-2+cos2B=0，
即2sinB•[1-cos2(

π

4

+

B

2

)]-2+cos2B=0，
即2sinB+2sin²B-2+1-2sinB²=0，
解得sinB=

1

2

．
由于0＜B＜π，所以B=

π

6

或

5π

6

；（6分）
（2）由a＞b，得到A＞B，即B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
代入得：1=3+c2-2

3

c(±

3

2

)，
即c²±3c+2=0，
解得c=1或c=2．（12分）

點評：本題考查三角形中三角恒等變換、解三角形．方程思想在三角形問題中的應用極為廣泛，根據已知條件可得方程、根據正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等都可以得到方程，解三角形問題的實質就是根據有關定理列方程求解未知元素．