Question

【題目】【2017重慶市八中5月模考】已知（）,,其中為自然對數的底數.

（1）若恒成立,求實數的取值范圍；

（2）若在（1）的條件下,當取最大值時,求證： .

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）解：法一：分類討論．因為,

①當時, 所以,

故在上單調遞增,

所以,所以

②當時,令,

若, ；若, ,

所以在上單減,在上單增；

所以,

解得,此時無解,

綜上可得．

法二：分離參數． 恒成立在上恒成立．

令,則

所以在上單增,

故,所以

（2）證明：由題意可知, ．

要證 （*）

先證明： 時, ．

令．

當時, ,所以在上單減,

所以,所以．

所以要證明（*）式成立,只需要證明（**） ……（8分）

令,則,

,令

又在上單調遞增,則在上, ,

在, ．

所以, 在上單減,在上單增,

所以,

所以在上單調遞增,所以．

所以（**）成立,也即是（＊）式成立．故