Question

6．已知圓（x+1）²+y²=9與直線y=tx+3交于A，B兩點，點P（a，b）在直線y=2x上，且PA=PB，則a的取值范圍為（-1，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由題意可得CP垂直平分AB，且b=2a．由$\frac{2a-0}{a+1}$•t=-1，解得a=-$\frac{1}{2t+1}$．把直線y=tx+3代入圓（x+1）²+y²=9化為關于x的一元二次方程，由△＞0，求得t的范圍，從而可得a的取值范圍．

解答 解：圓 （x+1）²+y²=9，表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于3的圓．
∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（a，b）在直線y=2x上，∴b=2a．
 又CP的斜率等于$\frac{2a-0}{a+1}$，∴$\frac{2a-0}{a+1}$•t=-1，解得a=-$\frac{1}{2t+1}$．
把直線y=tx+3代入圓（x+1）²+y²=9得，（t²+1）x²+（6t+2）x+1=0．
由△=（6t+2）²-4（t²+1）＞0，求得t＞0，或t＜-$\frac{3}{4}$．
∴-1＜-$\frac{1}{2t+1}$＜0，或 0＜-$\frac{1}{2t+1}$＜2．
故a的取值范圍為（-1，0）∪（0，2）．
故答案為（-1，0）∪（0，2）．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質，不等式的性質應用，屬于中檔題．