Question

設（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．求：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）a₀+a₂+a₄+…+a₁₂的值．

Answer 1

分析：（2）要求a₀+a₁+a₂+…+a₁₂的值，需要對表達式中x賦值，x=-2，即可求出表達式的值．
（2）只需令x=-4與x=-2，得到的兩個表達式解方程組，即可求出a₀+a₂+a₄+…+a₁₂的值．

解答：解：（1）因為（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．
當x=-2時，x+3=1．等式化為：（-1）⁴（-2）⁸=2⁸=256=a₀+a₁+a₂+…+a₁₂．
所以a₀+a₁+a₂+…+a₁₂=256…①
（2）．當x=-4時，x+3=-1．等式化為：（-3）⁴（0）⁸=0=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂…②
上述①②兩等式相加有：左邊=256+0=256，
右邊=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₂）+（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂）
=2（a₀+a₂+…+a₁₂） 所以a₀+a₂+…+a₁₂=

256

2

=128
所以a₀+a₂+…+a₁₂=128．

點評：本題是基礎題，考查二項式定理的應用，注意考察二項式定理的表達式的特征，通過賦值法解答的本題的關鍵，考查計算能力．