Question

已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函數f（x）=•的最大值為6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象像左平移個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求g（x）在[0，]上的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數f（x）=•
=
=A（）
=Asin（2x+）．
因為A＞0，由題意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．
將函數y=f（x）d的圖象向左平移個單位后得到，
y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的圖象．再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的倍，
縱坐標不變，得到函數y=6sin（4x+）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+）．
因為x∈[0，]，所以4x+，
故g（x）在[0，]上的值域為[-3，6]．
分析：（Ⅰ）利用向量的數量積展開，通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為，一個角的一個三角函數的形式，通過最大值求A；
（Ⅱ）通過將函數y=f（x）的圖象像左平移個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達式，通過x∈[0，]求出函數的值域．
點評：本題考查三角函數的最值，平面向量數量積的坐標表示、模、夾角，正弦函數的定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查計算能力．