Question

（2010•深圳二模）已知向量

m

=（sinx，-cosx），

n

=（cosθ，-sinθ），其中0＜θ＜π．函數f（x）=

m

•

n

在x=π處取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）設A，B，C為△ABC的三個內角，若sinB=2sinA，f(C)=

1

2

，求A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的數量積以及兩角和的正弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過x=π處取最小值求θ的值；
（Ⅱ）發一：通過f(C)=

1

2

，求出C的值，利用三角形的內角和與sinB=2sinA，通過三角代換直接求A．
法二：通過f(C)=

1

2

，求出C的值，利用正弦定理和余弦定理，求出B，然后求出A．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=sinxcosθ+cosxsinθ=sin（x+θ）…（2分）
又∵函數f（x）在x=π處取最小值，∴sin（π+θ）=-1，即  sinθ=-1…（3分）
又0＜θ＜π，∴θ=

π

2

…（5分）∴f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx…6 分
（Ⅱ）法一：∵f(C)=

1

2

，∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．                  …8 分
∵A+B+C=π，∴B=

2π

3

-A…（9分）
代入sinB=2sinA中，∴sin(

2π

3

-A)=2sinA，∴sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=2sinA，
∴tanA=

3

3

，…（10分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

6

．        …（12分）
（Ⅱ）法二：∵f(C)=

1

2

，∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．           …8 分
∵sinB=2sinA，由正弦定理有b=2a．          …（9分）
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a•2a•cos

π

3

=3a2
∴a²+c²=b²，∴B=

π

2

…（11分）
∵A+B+C=π，∴A=

π

6

．             …（12分）

點評：本題通過向量的數量積，考查三角函數的基本公式的應用，正弦定理與余弦定理的應用，考查計算能力，好題，常考題型．