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已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（sinx+2cosx，3cosx），f（x）=
a
•
b
，x∈R．求
（Ⅰ）函數f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（Ⅱ）函數f（x）的單調增區間．
分析：（I）根據向量數量積的運算并且結合利用二倍角公式，兩角和的正弦函數，化簡函數為 2+
2
sin(2x+
π
4
)，然后結合正弦函數的性質求函數f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（II）通過正弦函數的單調增區間，直接求出函數f（x）的單調增區間．
解答：解：因為向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（sinx+2cosx，3cosx），
所以f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)+2．…（2分）
（Ⅰ）由2x+
π
4
=2kπ+
π
2
，k∈Z，解得x=kπ+
π
8
，k∈Z．
所以f（x）的最大值為2+
2
，…（4分）
此時自變量x的集合為{x| x=kπ+
π
8
，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，解得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈Z．
所以函數f（x）的單調增區間為[kπ-
3π
8
，  kπ+
π
8
]（k∈Z）．…（12分）
點評：本題主要是通過向量的數量積考查三角函數的最值、正弦函數的單調性，考查計算能力，基本知識掌握的熟練程度，高考常考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）當θ∈[-
π
12
，
π
3
]時，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），滿足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ）與
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大�。�

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