Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．
（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，試判斷△ABC的形狀；
（2）若△ABC的面積S=3

3

，且c=

13

，C=

π

3

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由誘導公式及三角形的內角和定理得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數公式化簡，變形后根據兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0得到cosA=0或sinA=sinB，由A與B都為三角形的內角，得到A為直角或A=B，即可確定出三角形為直角三角形或等腰三角形；
（2）由sinC及已知的面積，利用三角形面積公式求出ab的值，再由c與cosC的值，利用余弦定理列出關系式，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．

解答：解：（1）∵sinC+sin（B-A）=sin2A，且sinC=sin（A+B），
∴sin（B+A）+sin（B-A）=sin2A，即2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA（sinB-sinA）=0，
∴cosA=0或sinB=sinA，
∵A與B都為三角形的內角，
∴A=

π

2

或A=B，
則△ABC為直角三角形或等腰三角形；
（2）∵△ABC的面積為3

3

，c=

13

，C=

π

3

，
∴

1

2

absinC=

3

4

ab=3

3

，即ab=12①，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：13=a²+b²-ab，即a²+b²=25②，
聯立①②解得：a=4，b=3或a=3，b=4．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：和差化積公式，二倍角的正弦函數公式，誘導公式，三角形的面積公式，以及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．