Question

【題目】已知函數，其中，e為自然對數的底數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若存在()，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的遞增區間是，無遞減區間；當時，的遞增區間是和，遞減區間是；（3）證明見解析.

【解析】

（1）對求導，可得與的值，可得在處的切線方程；

（2）令，可得，對其分，進行討論，可得的取值范圍及的單調區間；

（3）由（2）知，，且，可得關于的函數，對其求導可得其單調性，可得證明.

解：因為時，對恒成立，

所以定義域為，且，

（1）當時，，，所以，

所以在處的切線方程為：.

（2）令得，， （※）

①當，即時，又，

所以時，，在上單調遞增；

②當，解得或，又，所以時，

由方程（※）解得，，，

當時，，的遞增區間是；

當時，，的遞減區間是.

綜上，當時，的遞增區間是，無遞減區間；

當時，的遞增區間是和，遞減區間是.

（3）由（2）知，，且，

所以，

因為，，代入上式得

，

令，，

則，

所以在上單調遞增，

所以，即證得.