Question

【題目】設函數f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1．
（1）求f（x）的最大值及此時的x值
（2）求f（x）的單調減區間
（3）若x∈[﹣ ， ]時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1=cos2x+ = ，

當2x+ ，即 時，f（x）max=2

（2）解：由 ，得 ，

∴f（x）的單調減區間為[ ]，k∈Z

（3）解： ，

由 ，得 ，

∴ ，

∴﹣1≤f（x）≤2．

則f（x）的值域為[﹣1，2]

【解析】f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1=cos2x+ = （1）當2x+ ，即 時，f（x）取得最大值；（2）由 ，得 ，即可求出f（x）的單調減區間；（3）由 ，得 ，即可求出f（x）的值域．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的單調性和三角函數的最值的相關知識點，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．