Question

已知：數列{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，c_n=a_n-b_n，c₁=0，c2=

1

6

，c3=

2

9

，c4=

7

54

．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求和：a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1．

Answer 1

分析：（1）根據c_n=a_n-b_n，c₁=0，c2=

1

6

，c3=

2

9

，c4=

7

54

建立方程組，解之即可求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）討論n的奇偶，當n偶數時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1），當n奇數時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1進行求解即可．

解答：解：（1）c₁=0，則c₁=a₁-b₁=0
c2=

1

6

=a₁+a₂+b₁+b₂=2a₁+d+b₁+b₁q
c3=

2

9

=3a₁+3d+b₁+b₁q+b₁q²
c4=

7

54

=4a₁+6d+b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³．
解得：a₁=b₁=1，d=

1

2

，q=

4

3

∴an=

n+1

2

，bn=(

4

3

)n-1
（2）當n偶數時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-（a₂+a₄+…+a_n）
=-

n(n+4)

8

當n奇數時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1
=-

(n-1)(n+3)

8

+

n+1

2

×

n+2

2

=

n2+4n+7

8

點評：本題主要考查了數列的求和，以及等差數列與等比數列的綜合，同時考查了計算能力，屬于中檔題．