Question

已知實數列{a_n}是等比數列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{a_n}的前n項和記為S_n，證明：S_n＜128（n=1，2，3…）．

Answer 1

分析：（1）、根據等比數列的基本性質以及題中已知條件便可求出a₁和q的值，進而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）、根據等比數列前n項和的求法求出數列{a_n}的前n項和記為S_n，即可證明S_n＜128（n=1，2，3…）．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q（q∈R），由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，
從而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．
因為a₄，a₅+1，a₆成等差數列，
所以a₄+a₆=2（a₅+1），即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故a_n=a₁q^n-1=q^-6q^n-1=64（

1

2

）^n-1=2^7-n
（2）又等比數列前n項和的公式可知：
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

64[1-( 1 2 )n ]

1- 1 2

=128[1-（

1

2

）ⁿ]＜128．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列、放縮法等基礎知識，考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．