Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+x2-3x+m的圖象恰好與x軸只有一個交點，則m的取值范圍是

m＜-9或m＞

5

3

．

．

Answer 1

分析：先求函數的導數f'（x），利用導數求出函數的極大值與極小值，結合圖象列出方程．可求m的取值范圍．

解答：解：函數的導數為f'（x）=x²+2x-3，由f'（x）=x²+2x-3=0得，x=1或x=-3．
當x＞1或x＜-3時，f'（x）＞0．函數遞增．
當-3＜x＜1時，f'（x）＜0，函數遞減，
所以當x=-3時，函數取得極大值f（-3）=9+m．當x=1時，函數取得極小值f（1）=m-

5

3

．
要使函數f(x)=

1

3

x3+x2-3x+m的圖象恰好與x軸只有一個交點，則極大值f（-3）=9+m＜0或極小值f（1）=m-

5

3

＞0，
即m＜-9或m＞

5

3

．
故答案為：m＜-9或m＞

5

3

．

點評：本題考查函數圖象的交點問題．對應三次函數的圖象要通過導數求出函數的極大值和極小值，利用極值和x軸的大小關系，確定條件．數形結合是解決這類問題的關鍵．