Question

（1）已知

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x=0且0≤x≤π，求x的值；
（2）記f（x）=

2

sin(

π

4

+2x)-2cos2x（x∈R），求f（x）的最大值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左邊第一項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，再根據同角三角函數間的基本關系弦化切后，得到tan2x的值，根據x的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出x的值；
（2）把函數解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可求出函數的最大值及取最大值時x的值．

解答：解：（1）∵

2

sin（

π

4

+2x）-2cos2x=sin2x-cos2x=0⇒tg2x=1，
∴2x=kπ+

π

4

⇒x=

kπ

2

+

π

8

 ， k∈Z，又0≤x≤π，
∴x=

π

8

或x=

5π

8

；
（2）f(x)=sin2x-cos2x=

2

 sin (2x-

π

4

)，
當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

 ， k∈Z時，f(x)max=

2

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦函數的定義域及值域，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．