Question

若函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，f（1+x）=f（1-x），且當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＞0設(shè)a=f(0)，b=f(

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)，c=f(3)，則（　　）

A．a(chǎn)＜b＜c

B．c＜a＜b

C．c＜b＜a

D．b＜a＜c

Answer 1

分析：由f（1+x）=f（1-x）知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，再結(jié)合“當x∈（-∞，1）時（x-1）f′（x）＜0”，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再把自變量轉(zhuǎn)化到單調(diào)區(qū)間內(nèi)，由函數(shù)的單調(diào)性判斷大小．

解答：解：∵函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導，f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱．
∵當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＞0，
∴x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∵f（0）=f（2），且1＜

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＜2＜3，
∴f(

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2

)＜f(0)＜f(3)，即b＜a＜c，
故選D．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)圖象的對稱軸的判斷，以及轉(zhuǎn)化思想．