Question

給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f^″（x）=（f′（x））′，若f^″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．對于給出的四個函數(shù)：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x⁴+x³-x²+1，④f（x）=-xe^-x
以上四個函數(shù)在(0，

π

2

)上是凸函數(shù)的是

①②③

（請把所有正確的序號均填上）

Answer 1

分析：根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義逐項判斷即可得到答案．

解答：解：對于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于③，f″（x）=-2（6x²-3x+1），在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于④，f″（x）=（2-x）•e^-x在x∈（0，

π

2

）時f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=-xe^-x不是凸函數(shù)．
故答案為：①②③．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查學(xué)生的運算求解能力及應(yīng)用意識，屬基礎(chǔ)題．