Question

（2012•湖北模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極小值，求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x-1）²+blnx，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，已知（x）在x=2時(shí)取得極小值，可得f′（2）=0，從而求解；
（2）函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，f（x）在定義城上是單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，分兩種情況進(jìn)行討論，從而求解；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，
∴f′（x）=2（x-1）+

b

x

，
∵（x）在x=2時(shí)取得極小值，
∴f（2）=0，2×1+

b

2

=0，∴b=-4；
（2）f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
①∵x＞0，當(dāng)f′（x）≥0，有b≥2x-2x²=-2（x-

1

2

）²+

1

2

，b≥

1

2

，
②當(dāng)f′（x）≤0，b≤2x-2x3對(duì)任意x＞0成立，不存在，
故滿(mǎn)足條件的b的取值范圍為[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，此題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．