Question

已知函數，.
（1）函數的零點從小到大排列，記為數列，求的前項和；
（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設點是函數與圖象的交點，若直線同時與函數，的圖象相切于點，且
函數，的圖象位于直線的兩側，則稱直線為函數，的分切線.
探究：是否存在實數，使得函數與存在分切線？若存在，求出實數的值，并寫出分切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）當時，函數與存在分切線，為直線.

試題分析：本題考查三角函數、導數及其應用、等差數列等基礎知識；考查運算求解能力、等價轉化能力；考查化歸與轉化、函數與方程、有限與無限等數學思想方法．第一問，先解三角方程，零點值構成等差數列，利用等差數列的通項公式，求和公式求；第二問，先將恒成立轉化為，利用導數判斷函數的單調性，求出最大值，得到a的取值范圍；第三問，將函數和存在分切線轉化為“”或“”在 上恒成立，結合（1）（2）判斷是否符合題意，再進行證明.
試題解析：（1）∵， ∴ ∴，．      1分
∴，                      2分
∴．                             4分
（2）∵在上恒成立，
∴在上恒成立．                   5分
設，  ∴，           6分
∴在單調遞增，單調遞減，單調遞增，單調遞增，
∴的極大值為，
∴的最大值為，    ∴ ．               8分
（3）若函數與存在分切線，則有“”或“”在 上恒成立，
∵當時，，．
∴，使得，   ∴在不恒成立．
∴只能是在上恒成立．                        9分
∴由（2）可知， ∵函數與必須存在交點， ∴．      10分
當時，函數與的交點為,∵，
∴存在直線在點處同時與、相切，
∴猜測函數與的分切線為直線．            11分
證明如下：
①∵，
設，則．
令，則有．
∴在上單調遞增，∴在上有且只有一個零點．
又∵，∴在單調遞減，在單調遞增，
∴，∴，
即在上恒成立．
∴函數的圖象恒在直線的上方．             13分
②∵在上恒成立，
∴函數的圖象恒在直線的下方．
∴由此可知，函數與的分切線為直線，
∴當時，函數與存在分切線，為直線．         14分