Question

有兩個各項都是正數的數列{a_n}，{b_n}，若對于任意自然數n都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）如果a₁=1，b₁=

2

，記數列{

1

an

}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）根據題設條件，由等差數列的性質得到2bn2=a_n+a_n+1，由等比數列的性質得到an+12 =bn2•bn+12，由此進行化簡整理，能夠證明數列{b_n}是等差數列．
（2）由a₁=1，b₁=

2

，a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列，利用遞推思想分別求出數列{a_n}的前四項，再得用合理猜想和累加法求出數列{a_n}的通項公式，最后利用裂項求和法能求出數列{

1

an

}的前n項和為S_n．

解答：（1）證明：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，
∴2bn2=a_n+a_n+1，①
∵b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列，
∴an+12 =bn2•bn+12，②
∵a_n＞0，b_n＞0，
∴由②得a_n+1=b_n•b_n+1，
∴當n≥2時，an=bn-1•bn ，
∴由①得2bn2=b_n-1•b_n+b_n•b_n+1，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1，
∴數列{b_n}是等差數列．
（2）∵a₁=1，b₁=

2

，
a_n，b_n²，a_n+1成等差數列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數列，
∴2(

2

)2=1+a2，a22=(

2

)2•b22，
解得a₂=3，b2=

3 2

2

，
∴2(

3 2

2

)2=3+a3，a32=(

3 2

2

)2•b32，
解得a₃=6，b3=2

2

，
∴2(2

2

)2=6+a4，a42=(2

2

)2•b42，
解得a₄=10，b4=

5 2

2

，
由此猜想：a₂-a₁=3-1=2，
a₃-a₂=6-3=3，
a₄-a₃=10-6=4，
…
a_n-a_n-1=n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+3+4+…+n
=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴Sn=2(1-

1

2

)+2(

1

2

-

1

3

)+2(

1

3

-

1

4

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題考查等差數列的證明和數列前n項和的求法，解題時要注意遞推思想、函數思想的合理運用，要合理猜想，靈活運用累加法和裂項求和法進行解題．