Question

已知各項均為正數的兩個無窮數列、滿足．

（Ⅰ）當數列是常數列（各項都相等的數列），且時，求數列的通項公式；

（Ⅱ）設、都是公差不為0的等差數列，求證：數列有無窮多個，而數列惟一確定；

（Ⅲ）設，，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由是常數列，得，進而探求數列項間的關系；（Ⅱ）將等差數列、　的通項公式代入，根據等式恒成立，求首項和公差；（Ⅲ）利用題中所給關系式對進行適當放縮，求出上界和下界.

試題解析：

（Ⅰ）因為數列是常數列，且，所以①，因此②，①-②得，，這說明數列的序號為奇數的項及序號為偶數的項均按原順序組成公差為2的等差數列，又，，所以，因此，，即.

（Ⅱ）設、都是公差分別為，將其通項公式代入得，因為它是恒等式，所以，解得，因此.

由于可以取無窮多非零的實數，故數列有無窮多個，而數列惟一確定；

（Ⅲ）因為，且，所以，即，所以，得，因此.

又由得，，而，所以，因此

，所以，所以.

考點：等差數列、數列的遞推關系、數列與不等式.