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已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列{an}是常數(shù)列(各項(xiàng)都相等的數(shù)列),且b1=
1
2
時(shí),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列{an}有無(wú)窮多個(gè),而數(shù)列{bn}惟一確定;
(Ⅲ)設(shè)an+1=
2an2+an
an+1
(n∈N*)
,Sn=
2n
i=1
bi
,求證:2<
Sn
n2
<6.
分析:(I)設(shè)an=a>0,利用數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*),可得bn+1+bn=2n,(n∈N*),于是當(dāng)n≥2時(shí),bn+bn-1=2(n-1).于是bn+1-bn-1=2.可知:數(shù)列{bn}當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)按原順序均構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(II)設(shè){an}、{bn}公差分別為d1、d2,可得其通項(xiàng)公式,代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).可得[a1+(n-1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n-1)d2]=2n(a1+nd1),對(duì)于任意n恒成立,可得
2d1d2=2d1
2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
2a1b1-b1d1-a1d2=0
,解出即可;
(III)利用an+1=
2
a
2
n
+an
an+1
,可得an+1-an=
2
a
2
n
+an
an+1
-an=
a
2
n
an+1
>0
,于是an<an+1.利用anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得2n<bn+1+bn.又anbn+1=(2n-bn)•an+1>0,an+1>0,可得2n-bn>0.可得Sn∈(2n2,4n2+2n),進(jìn)而得出.
解答:(I)解:設(shè)an=a>0,∵數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*),
∴bn+1+bn=2n,(n∈N*),于是當(dāng)n≥2時(shí),bn+bn-1=2(n-1).
∴bn+1-bn-1=2.
∴可知:數(shù)列{bn}當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)按原順序均構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列,
b1=
1
2
,b1+b2=2,可得b2=
3
2

b2n-1=
1
2
+(n-1)•2
=(2n-1)-
1
2
b2n=
3
2
+(n-1)•2
=2n-
1
2

bn=n-
1
2
(n∈N*).
(2)證明:設(shè){an}、{bn}公差分別為d1、d2
則an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)d2
代入anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N*).
可得[a1+(n-1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n-1)d2]=2n(a1+nd1),對(duì)于任意n恒成立,
可得
2d1d2=2d1
2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
2a1b1-b1d1-a1d2=0
,解得
d1=a1
b1=1
d2=1

可得an=na1,bn=n.
∴只有取a1>0可得數(shù)列{an}有無(wú)窮多個(gè),而數(shù)列{bn}惟一確定;
(3)證明:∵an+1=
2
a
2
n
+an
an+1

∴an+1-an=
2
a
2
n
+an
an+1
-an=
a
2
n
an+1
>0

∴an<an+1
∴anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得2n<bn+1+bn
因此Sn=
2n
i=1
bi
=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)>2[1+3+…+(2n-1)]=2n2
又anbn+1=(2n-bn)•an+1>0,an+1>0,
∴2n-bn>0.
Sn=
2n
i=1
bi<2(1+2+…+2n)
=2n(1+2n)=4n2+2n,
Sn∈(2n2,4n2+2n)
2<
Sn
n2
<4+
2
n
≤6
點(diǎn)評(píng):熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、放縮法等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn},由下表給出:
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定義數(shù)列{cn}:c1=0,cn=
bncn-1an
cn-1-an+bncn-1an
(n=2,3,4,5)
,并規(guī)定數(shù)列{an},{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+a5+c5,若Sab=15,則y的最小值為
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=
anbn
an2+bn2
,n∈N*
(1)求證:當(dāng)n≥2時(shí),有an
2
2
成立;
(2)設(shè)bn+1=
bn
an
,n∈N*,求證:數(shù)列{(
bn
an
)
2
}
是等差數(shù)列;
(3)設(shè)bn+1=anbn,n∈N*,試問(wèn){an}可能為等比數(shù)列嗎?若可能,請(qǐng)求出公比的值,若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
,n∈N
(Ⅰ)設(shè)bn+1=1+
bn
an
,n∈N,求證:
(1)
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)
2

(2)數(shù)列{(
bn
an
)
2
}是等差數(shù)列,并求出其公差;
(Ⅱ)設(shè)bn+1=
2
bn
an
,n∈N,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•江蘇)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=
an+bn
an2+bn2
,n∈N*
(1)設(shè)bn+1=1+
bn
an
,n∈N*,,求證:數(shù)列{(
bn
an
) 2}
是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn+1=
2
bn
an
,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列由表下給出:
定義數(shù)列{cn}:c1=0,cn=
bncn-1an
cn-1-an+bncn-1an
(n=2,3,…,5)
,并規(guī)定數(shù)列
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an},{ bn}的“并和”為 Sab=a1+a2+…+a5+c5.若 Sab=15,
則y的最小值為
3
3

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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