Question

設a≥0，f （x）=x-1-ln²x+2a ln x（x>0）。
（1）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值；
（2）求證：當x>1時，恒有x>ln²x-2aln x+1。

Answer 1

解：（1）根據求導法則有
故
于是
列表如下：

故知F（x）在內是減函數，在內是增函數，
所以，在處取得極小值。
（2）由知，的極小值
于是由上表知，對一切，恒有
從而當時，恒有，
故在內單調增加
所以當時，，即
故當時，恒有。