Question

設a≥0，f （x）=x-1-ln²x+2a ln x（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf'（x），討論F（x）在（0．+∞）內的單調性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，恒有x＞ln²x-2a ln x+1．

Answer 1

（Ⅰ）根據求導法則有f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，x＞0，
故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，x＞0，
∴知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+∞）內是增函數，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）證明：由a≥0知，F（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．