Question

設a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

Answer 1

分析：（1）先根據求導法求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間及極值即可．
（2）欲證x＞ln²x-2a ln x+1，即證x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據第一問的單調性即可證得．

解答：解：（Ⅰ）根據求導法則有f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，x＞0，
故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，x＞0，
∴知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+∞）內是增函數，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）證明：由a≥0知，F（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

點評：本題主要考查學生綜合運用導數知識分析問題、解決問題的能力，本小題主要考查函數的導數，單調性，不等式等基礎知識．