Question

【題目】已知拋物線C的焦點在y軸上，焦點到準線的距離為2，且對稱軸為y軸.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）當拋物線C的焦點為時，過F作直線交拋物線于，A、B兩點，若直線OA，OB（O為坐標原點）分別交直線于M、N兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據拋物線的定義即可求出拋物線方程；

（2）由題意可得拋物線C的方程為，設，，直線AB的方程為，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理求得，聯立方程求得點M、N的橫坐標，則，利用換元法求最值即可得出答案．

解：（1）當焦點在y軸正半軸時，設拋物線C標準方程為，

則，所以拋物線C的方程為，

當焦點在y軸負半軸時，設拋物線C標準方程為，

則，所以拋物線C的方程為；

（2）依題意，拋物線C的方程為，設，，直線AB的方程為，

由消去y整理可得：，

∴，，∴，

由，解得點M的橫坐標為，

同理可得點N的橫坐標為，

∴，

令，，則，

當時，，

當時，，

此時即，則，

綜上：的最小值．