Question

【題目】筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖1）．因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用（如圖2）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數模型刻畫盛水筒（視為質點）的運動規律．將筒車抽象為一個幾何圖形，建立直角坐標系（如圖3）．設經過t秒后，筒車上的某個盛水筒從點P0運動到點P．由筒車的工作原理可知，這個盛水筒距離水面的高度H(單位: )，由以下量所決定：筒車轉輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉動的角速度ω（單位: ），盛水筒的初始位置P0以及所經過的時間t(單位: )．已知r=3，h=2，筒車每分鐘轉動(按逆時針方向)1.5圈， 點P0距離水面的高度為3.5，若盛水筒M從點P0開始計算時間，則至少需要經過_______就可到達最高點；若將點距離水面的高度表示為時間的函數，則此函數表達式為_________．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】

【解析】

由題設條件求出初始位置與非負半軸的夾角，當第一次到達最高點時，求出所轉過的弧度，根據筒車每秒鐘轉動的弧度，求出第一次到達最高點的時間，即可得出第一空；

由三角函數的定義得出動點的縱坐標，利用縱坐標求出點距離水面的高度，即可得出第二空.

因為點P0距離水面的高度為3.5，則開始時與非負半軸的夾角為

由題意可知，筒車每分鐘轉動(按逆時針方向)，即筒車每秒鐘轉動

當第一次到達最高點時，所轉過的弧度為，則所用時間為

即若盛水筒M從點P0開始計算時間，則至少需要經過就可到達最高點；

設與非負半軸的夾角為，則

由三角函數的定義可知點的縱坐標為，

則點距離水面的高度的函數為，

故答案為：；