Question

對于直線L：y=kx+1是否存在這樣的實數，使得L與雙曲線C：3x²-y²=1的交點A，B關于直線y=ax（a為常數）對稱？若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：利用兩點關于直線對稱滿足兩點的中點在直線上；兩點連線與對稱軸垂直列出方程組，將韋達定理代入得到a，k關系．判斷出是否存在．

解答：證明：（反證法）假設存在實數k，使得A、B關于直線y=ax對稱，（1分）
設A（ x₁，y₁），B（ x₂，y₂），（2分）
則

ka=-1…(1) y1+y2=k(x1+x2)+2…(2) y1+y2 2 =a x1+x2 2 …(3)

，（6分）
由

y=kx+1 y2=3x2-1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，（4）（8分）
由（2）（3）有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2，（5）（9分）
由（4）知x₁+x₂=

2k

3-k2

，（10分）
代入（5）整理得ak=3，與（1）矛盾，（12分）
故不存在實數k，使得A、B關于直線y=ax對稱，（14分）

點評：本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關系常將它們的方程聯立，處理兩點關于直線對稱的問題常借用兩點的中點在對稱軸上；兩點連線與對稱軸垂直．